在概率论中，指数分布是一种描述随机变量 X 非负且呈单调递减的分布。每个随机变量 X 都遵循以下概率密度函数：

f(x) = λe^(-λx), x ≥ 0

其中，λ > 0 是指数分布的速率参数，它控制分布的衰减速率。

当多个独立的随机变量 X_1、X_2、...、X_n 都服从相同的指数分布时，它们之和 S = X_1 + X_2 + ... + X_n 也服从指数分布，但速率参数为各个分布参数之和，即：

S ~ Exponential(λ_1 + λ_2 + ... + λ_n)

由此，我们可以推导出独立的指数分布求和的期望为各个期望的和。

期望的定义

期望是随机变量的一种平均值，它衡量了随机变量在所有可能值上的加权平均。对于连续分布的随机变量 X，其期望定义为：

E(X) = ∫xf(x)dx

其中，f(x) 是 X 的概率密度函数。

指数分布的期望

对于指数分布随机变量 X，其期望为：

E(X) = ∫xλe^(-λx)dx = 1/λ

这表明指数分布的期望等于其速率参数的倒数。

独立的指数分布求和的期望

如前所述，当多个独立的指数分布随机变量求和时，它们之和也服从指数分布，速率参数为各个速率参数之和。独立的指数分布求和的期望为：

E(S) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n) = 1/λ_1 + 1/λ_2 + ... + 1/λ_n

具体示例

考虑以下三个独立的指数分布随机变量：

• X_1 ~ Exponential(0.5)
• X_2 ~ Exponential(1.0)
• X_3 ~ Exponential(2.0)

它们的和 S = X_1 + X_2 + X_3 也服从指数分布，速率参数为：

λ = λ_1 + λ_2 + λ_3 = 0.5 + 1.0 + 2.0 = 3.5

S 的期望为：

E(S) = 1/λ = 1/3.5 ≈ 0.2857

这表明在这些独立的指数分布随机变量中，它们的和的平均值为 0.2857。